第三次翻转课堂草稿

思考题

（1）为什么信号的通信速度和占有的频带宽度是互相矛盾的？

$f(t) \rla F(\omega)$ $\forall 0 \ne a \in \R$ , 有

f (a t) \leftrightarrow \frac{1}{| a |} F (\frac{ω}{a}),

$a > 0$ 为例.

$a$ .

$\dfrac{1}{a}$ $a$ .

进一步, 可以参考 3b1b 的这期视频:

【官方双语】直观看待不确定性原理：不只是量子现象哦哔哩哔哩bilibili.

（2）信号发生时移后，其频谱如何变化？

$f(t) \rla F(\omega)$ $f(t - t_0) \rla F(\omega) \e^{-\j\omega t_0}$ .

$t_0$ 频谱 $\omega t_0$ .

$F(\omega) = \vqty{F(\omega)} \e^{\j \varphi(\omega)}$ , 于是

f (t - t_{0}) \leftrightarrow | F (ω) | e^{j (φ (ω) - ω t_{0})},

即幅度频谱相位频谱 $\omega t_0$ .

（3）如何利用频移特性实现信号的频谱搬移？

$f(t)$ $\cos(\omega_0 t)$ 的频率附近.

$f(t)$ 可展开为傅里叶级数, 于是只需考虑正弦函数的情况.

为了实现正弦函数的调频, 可以用另一正弦函数与之相乘, 由积化和差即得.

$f(t) \cos(\omega_0 t)$ $f(t) \sin(\omega_0 t)$ ,

其中正弦可利用欧拉公式改写为指数形式, 从而由频移特性得到其频谱.

具体来说:

$f(t) \cos \omega_0 t \rla \dfrac{1}{2} \bqty{ F(\omega + \omega_0) + F(\omega - \omega_0) }$ .
$f(t) \sin\omega_0 t \rla \dfrac{\j}{2} \bqty{ F(\omega + \omega_0) - F(\omega - \omega_0) }$ .

（4）对信号进行微分运算后，其频谱如何变化？

$f'(t) \rla \j\omega F(\omega)$ ,

$90^\circ$ $\omega$ 倍.

$f'(t) \rla \omega \vqty{F(\omega)} \e^{\j \pqty{\varphi(\omega) + \tfrac{\pi}{2}}}$ ,

$\dfrac{\pi}{2}$ .

（5）如何理解信号的时域卷积定理和频域卷积定理？

时域卷积同构于频域乘法.

证明

$\cal F \colon f(t) \mapsto F(\omega)$ .
$\cal F[f(t)] = \cal F[g(t)] \RA f(t) = g(t)$ .
$\forall F(\omega), \exist f(t) = \cal F\inv[F(\omega)](t) \colon \cal F[f(t)](\omega) = F(\omega)$ .
$\cal F[f(t) \cdot g(t)](\omega) = \cal F[f(t)](\omega) * \cal F[g(t)](\omega)$ .

证毕.

而频域卷积不同构于时域乘法, 但也可以用于化简运算.

多次应用对称性质, 频域卷积也只是时域卷积的推论.

练习题

$f(at - b) \rla \dfrac{1}{\vqty{a}} F\pqty{\dfrac{\omega}{a}} \e^{-\j\omega\tfrac{b}{a}}$ , 得

f (2 t - 5) \leftrightarrow \frac{E τ}{2} Sa (\frac{ω τ}{4}) e^{- \frac{5}{2} j ω} .

$f(t) = \Sa(\pi(t - 1))$ $\Sa(t) \rla \pi I_\Bqty{-1 < \omega < 1}$ , 得

Sa (π (t - 1)) \leftrightarrow e^{- j ω} I_{{- π < ω < π}} .

$f_1(t) f_2(t) \rla \dfrac{1}{2\pi} F_1(\omega) * F_2(\omega)$ , 有

\begin{aligned} (t - 2) f (t) & \leftrightarrow \frac{1}{2 π} F [t - 2] (ω) * F (ω) \\ = \frac{e^{- 2 j ω}}{2 π} F [t] (ω) * F (ω) \\ = j e^{- 2 j ω} δ^{'} (ω) * F (ω) \\ = (j δ^{'} (ω) - 2 δ (ω)) * F (ω) \\ = j F^{'} (ω) - 2 F (ω) . \end{aligned}

$t$ $1 \rla 2\pi\delta(\omega)$ $t^n f(t) \rla \j^n F^{(n)}(\omega)$ 给出.

$G_\tau(t) \rla \tau \Sa\pqty{\dfrac{\omega\tau}{2}}$ $\dint_{-\infty}^t f(\tau) \dd{\tau} \rla \dfrac{F(\omega)}{\j\omega} + \pi F(0) \delta(\omega)$ 得

\int_{- \infty}^{t} G_{τ} (t) d t \leftrightarrow \frac{τ}{j ω} Sa (\frac{ω τ}{2}) + π τ δ (ω) .

由定义,

\begin{aligned} F [f (t)] (ω) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ^{'} (t - 1) e^{- j ω t - 3 (t - 1)} d t \\ = (j ω + 3) e^{- j ω}, \end{aligned}

题目中的符号是混乱邪恶的, 混乱体现在正斜体不分, 邪恶体现在定义不统一.

$f(t) \rla F(\omega)$ , 则由频移与时移性质知

\begin{aligned} e^{j 4 t} f (t - 2) & \leftrightarrow F (ω - 4) e^{- j 2 (ω - 4)} . \end{aligned}

$\dfrac{1}{\pi t} \rla -\j \sgn(\omega)$ .
$f'(t) \rla \j\omega F(\omega)$ .
$y(t) \rla \omega \sgn(\omega) F(\omega)$ .

$x''(t) = \delta'(t+2) + \delta(t+2) - 2\delta(t) + \delta(t-2) - \delta'(t-2)$ , 得

F [x^{″} (t)] (ω) = j ω e^{2 j ω} + e^{2 j ω} - 2 + e^{- 2 j ω} - j ω e^{- 2 j ω},

于是由时域积分性质 (注意不是微分性质),

\begin{aligned} F [x^{'} (t)] (ω) & = e^{2 j ω} - e^{- 2 j ω} + \frac{e^{2 j ω} + e^{- 2 j ω} - 2}{j ω}, \\ F [x (t)] (ω) & = \frac{2}{ω} \sin 2 ω + \frac{2 \cos 2 ω - 2}{j^{2} ω^{2}} \\ = 4 Sa ω (Sa ω + \cos ω) \\ = 4 {Sa}^{2} ω + 4 Sa 2 ω . \end{aligned}

随手化简, 没想到还挺简洁.

上述练习题的代码

$f(t) = E G_\tau(t) = \dfrac{E}{2} \bqty{u\pqty{\dfrac{\tau}{2} - t} + u\pqty{\dfrac{\tau}{2} + t}}$ ,


x
10
1
(* 
2
注释中涉及的非代码语言, 仅供参考.
3

4
注意这里的 HeavisidePi[t] = I_{-1/2 < t < 1/2},
5
于是 G_\tau = HeavisidePi[t/\tau].
6

7
此外对于纯数学与系统工程中常用的傅里叶变换,
8
需要将傅里叶参数设置为 {1, -1}, 注意不要写成 {-1, 1} 或其它值.
9
参考: https://reference.wolfram.com/language/ref/FourierTransform?view=all#15513
10

11
这里的 Sinc[t] 即信号书中的 Sa(t), 而我们学的 Sinc[t] 被定义为 Sa(\pi t)
12
注意区分软件里的 Sinc 与书中的 Sinc.
13

14
最后, 注意软件里的 E 指自然常数, 因此不能以此为变量名.
15
不过系数不必考虑, 算出来之后再加上就好了.
16
*)
17

18
FourierTransform[
19
    HeavisidePi[(2 t - 5)/\[Tau]], t, \[Omega], 
20
    FourierParameters -> {1, -1},
21
    Assumptions -> \[Tau] > 0
22
]
23
(* 真不知道为什么计算量这么小的式子, mathematica 怎么算不出来... *)

$I_\Bqty{-\pi < \omega < \pi} = G_{2\pi}(t) = \dfrac{\sgn(\pi - \omega) + \sgn(\pi + \omega)}{2}$ .


xxxxxxxxxx
1
1
FourierTransform[
2
    Sinc[Pi (t - 1)], t, \[Omega], 
3
    FourierParameters -> {1, -1}
4
]

$\cal F[t-2](\omega)$ .


xxxxxxxxxx
4
1
FourierTransform[
2
    t-2, t, \[Omega],
3
    FourierParameters -> {1, -1}
4
]

$\cal F[f(t)](\omega)$ .


xxxxxxxxxx
4
1
FourierTransform[
2
    E^(-3 (t - 1)) DiracDelta'[t - 1], t, \[Omega], 
3
    FourierParameters -> {1, -1}
4
]

用卷积定理后再用软件求解:


x
1
FourierTransform[
2
    1 / (Pi t), t, \[Omega], 
3
    FourierParameters -> {1, -1}
4
] FourierTransform[
5
    f'[t], t, \[Omega], 
6
    FourierParameters -> {1, -1}
7
]

注意 HeavisidePi[t] 和 HeavisideLambda[t] 图像上的区别.


xxxxxxxxxx
1
1
Plot[
2
    HeavisidePi[t/4] + 2 HeavisideLambda[t/2],
3
    {t, -2.5, 2.5}
4
]
5
FourierTransform[
6
    HeavisidePi[t/4] + 2 HeavisideLambda[t/2], t, \[Omega], 
7
    FourierParameters -> {1, -1}
8
]